Le changement fondamental : des sommes aux intégrales
Une variable aléatoire $X$ est continue si elle admet une fonction non négative $f$, appelée fonction de densité de probabilité (FDP) de $X$, telle que pour tout ensemble de nombres réels $B$ :
$P\{X \in B\} = \int_B f(x) dx$
De façon cruciale, cela implique que pour toute valeur spécifique $a$, $P(X = a) = \int_a^a f(x) dx = 0$. Dans le domaine continu, nous ne parlons que de probabilités sur des intervalles.
La symbiose entre FDP et FDC
La fonction de répartition cumulative (FDC) $F(x)$ agit comme un accumulateur de probabilité depuis l'infini négatif jusqu'à $x$ :
$\frac{d}{dx}F(x) = f(x)$
Mesures de tendance centrale
- Valeur attendue : $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx$
- Médiane ($m$) : Le point qui partage en deux parties égales l'aire, où $F(m) = \frac{1}{2}$.
- Mode : La valeur de $x$ pour laquelle $f(x)$ atteint son maximum.
Les limites de la sommation
Pour mieux comprendre les « intégrales » dans notre parcours, comparez le monde discret — où nous pouvons trouver la théorème de Legendre ($\sum_{k=1}^{\infty} 1/k^2 = \pi^2/6$) ou une logique complexe pour les diviseurs (où, pour $D=k$, $k$ doit diviser à la fois $X$ et $Y$, et $X/k$, $Y/k$ doivent être premiers entre eux) — avec le monde continu. Ici, nous calculons la variance par $Var(X) = E[(X - E[X])^2]$ et les espérances de fonctions via $E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x) dx$.